第 4 次课 · 逻辑型数字化世界：数值、文本与矢量图形编码（10.13/10.14）

本课进入模块 2「信息的表示与处理」。上次课搭的加法器只会做 0/1 变换，并不知道这串 0/1 代表什么，含义是人给的。信息来自可感知、可区分的状态差异，所有信息进计算机之前都要先数字化。逻辑型数字化由人定好编码规则，把符号映射成 0/1。课上讲三类编码：数值（补码、浮点数）、文本（ASCII、GB2312/GB18030、Unicode/UTF-8）和矢量图形（SVG）。最后动手改一段 SVG，把圆和矩形做布尔运算再旋转。

📺 课程视频

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第一小节：打开计算机硬件的盲盒（李秀）

第二小节：信息表示与处理（李秀）

📄 课件

信息表示与处理（一）· 新版

第一部分 · 打开计算机硬件的盲盒（回顾）

第二部分 · 信息表示与处理

需要完整课件的话，可下载新版完整版 PDF。

信息表示与处理（一）· 旧版

第一部分 · 打开计算机硬件的盲盒（回顾）

第二部分 · 信息表示与处理

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乱码示例：不是文件坏了，是解码规则用错了

乱码-UTF8.txt 用 UTF-8 保存。换用 GB18030 去解读同一串 0/1，得到的就是无法识别的字符。

你看到的这类乱码，并不是二进制数据损坏，而是使用了错误的编码字典去解码：一段文本原本用 UTF-8 编码保存，如果用 GB18030 规则来解读这段 0/1 序列，就好比拿着《英汉字典》去查询日文，自然得到无法识别的字符，也就是乱码。

SVG 矢量图形素材

课堂练习要在文本编辑器里直接改 SVG 描述。先看两个最基础的图元，圆和矩形。

练习 1 是在圆的绘图描述里新增一个矩形图元，渲染器按先后顺序叠加绘制圆与矩形，得到上面这种叠加画面。

把图形组合起来还能用布尔运算。clip-path 得到相交，只保留裁剪区里的部分：

mask 得到相减，把矩形从圆里挖掉：

<svg width="300" height="300" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg">
  <!-- defs：定义遮罩规则，实现圆减去矩形 -->
  <defs>
    <mask id="cutMask">
      <!-- 白色矩形：全部保留区域 -->
      <rect x="0" y="0" width="300" height="300" fill="white"/>
      <!-- 黑色矩形：这个区域透明，用来挖掉圆的一部分 -->
      <rect x="100" y="100" width="150" height="120" fill="black"/>
    </mask>
  </defs>
  <!-- g 分组：把图形打包成整体，添加变换规则：整体逆时针旋转 45°，旋转中心 (100,100) -->
  <g transform="rotate(-45,100,100)">
    <circle cx="100" cy="100" r="80" fill="red" stroke="black" stroke-width="2" mask="url(#cutMask)"/>
  </g>
</svg>

📝 作业

本次课没有新作业。作业 2 的实验报告上次课后就布置了，还没交的同学按第 3 次课的要求完成，提交 硬件实验_学号.pdf。

🎬 课堂回放

完整课堂实录，可选择任意课堂观看。

2-1 课堂（周二 第一大节 · 自强楼 5312）：

若在线播放卡顿，可点此直接下载录像。

3-3 课堂（周三 第三大节 · 自强楼 5310）：

若在线播放卡顿，可点此直接下载录像。

🗂️ 课程内容摘要

这节课接着上次课的加法器往下讲。硬件只会做 0/1 变换，不知道 0/1 的含义；含义来自人定的编码规则。课上先讲比特在运算和存储里的两种角色，再说清什么是信息、感知型和逻辑型两类数字化。之后依次是数值编码、编解码的配套关系、文本编码和矢量图形编码，最后收在「编码是工程权衡」上。

第 0 部分 · 承接上次课：比特的两种角色

比特在硬件上有两种用法。看电路时不妨换个视角：与其盯着串联、并联怎么接，不如把电路看成一个封装好的 \(y=f(x)\)。别被连线拓扑干扰，只关注给什么输入、得到什么输出。逻辑门封装的正是连线拓扑所表达的符号变换规则。一个比特对应一位二进制数，在电路里就是高低电平、开关通断。

运算硬件里，比特是瞬时的高低电平，用来实时做符号变换。衡量并行运算能力的是位宽，64 位 CPU 指 ALU 一次能并行处理 64 个比特。位宽不够时就会出问题。两位加法器能算 3+2=5，却算不了 1+4，因为 4 的二进制 100 需要三位，输入引脚根本不够。要算 253+5，至少要 8 个全加器级联，输出还可能多出一位进位，共 9 位。实验搭的是串行进位加法器，高位必须等低位的进位，本质是串行计算；真实 CPU 用超前进位等方案，通过逻辑提前算出各位进位，实现并行计算。课上不展开超前进位，是因为逻辑太复杂，重点在建立「串行/并行」和「位宽」的概念。

存储硬件里，比特是可维持的物理状态，用来保存比特序列。只要能稳定表示两种状态的电路或介质，都能拿来存比特：

• SRAM（静态内存）：用 6 个晶体管构成双稳态触发器保存 1 比特，通电时状态稳定、不用刷新；电路复杂、面积大、成本高，速度快，用作 CPU 高速缓存。
• DRAM（动态内存）：用 1 个电容加 1 个开关记录 1 比特，电荷每 10~100 毫秒会流失，需要周期性刷新；单元简单、密度高、成本低，用作电脑主内存，断电会丢数据。两者都属于易失性存储。
• 磁盘靠磁粒子磁化方向记录比特，写入后排列方向不再改变，断电仍能保留，但怕强烈震动；闪存（NAND）靠浮栅晶体管俘获电子记录比特，也能断电保留。
• 固态硬盘 SSD 以闪存芯片为存储颗粒，配上读写主控电路，没有机械读写头，存取比机械硬盘快，也更防震，成本降下来后成为主流。

存储容量以字节为基础，1 字节 = 8 比特是历史形成的标准；容量按 1024 递进：KB、MB、GB、TB、PB、EB。买电脑说的「16G 内存」和「1T 硬盘」是两类不同用途的存储。编辑时数据在内存里，随时可能因为断电消失；点「保存」是把内存里的数据写回硬盘等非易失存储。课上用「赶作业到 23:59，一杯咖啡泼到电脑上黑屏」的场景解释易失性。

把 8 位加法器封装成芯片，只留下输入输出引脚。集成工艺把晶体管和连线「微雕」到硅片上。ENIAC 占一间教室；今天的笔记本和手机性能强百万倍，尺寸小几十万倍，价格也从举国之力变成个人可拥有。这些变化靠的是半导体材料和集成电路工艺。单位面积晶体管数大约每 18–24 个月翻一番、成本下降，这就是摩尔定律；先进制程已到 2 纳米左右，硬件迭代放缓，进入后摩尔时代，但应用层的生成式 AI、通用人工智能仍在快速推进。

回到计算模型：它的基础动作就是条件判断（布尔逻辑）和符号变换。硬件连线拓扑决定了固定的变换规则 \(f\)，给一组 0/1 输入 \(x\)，就输出一组 0/1 \(y\)。但硬件不知道这串 0/1 是数字、文字还是图形。要让硬件处理不同的信息，有两条路：改 \(f\)（重新接线，换电路拓扑），或者改编码规则（\(f\) 不动，只改 0/1 的含义）。本课走第二条。

第 1 部分 · 信息与数字化

信息来自可感知、可区分的状态差异。香农说，信息用来消除不确定性。讲台上摆着三台电脑：Windows 笔记本、Mac、台式机。你能分清它们，是因为形状、大小、材质、界面这些差异。差异消除了「这是哪台电脑」的不确定性，这就是信息。按来源分两类：

• 感知得来的物理信号。声音、图像、压力这类连续物理量。
• 人类抽象创造的符号系统。数字、文字、几何图形这类有限、离散的符号，用来更高效地加工、存储、分享和推理。

所有信息进计算机前都要数字化，但两类信息的走法不同：

• 感知型数字化。对连续物理信号采样、量化，得到一组有限的离散数值，这是对真实世界的近似，再把数值编码成 0/1。位图图像、音频、视频属这一类，还原出来是近似值（位图放大会失真）。
• 逻辑型数字化。对人类抽象符号，直接按人预先定好的规则编码映射成 0/1。硬件只认 0/1，含义、语义、结构都由编码规则赋予。数值、文本、矢量图形都算这一类，表示本身是无损的（矢量图形可无限缩放）。

课上留了一个问题：为什么不同类型的信息要用不同的编码方案？答案在信息本身的结构。结构不一样，工程上要的东西也不一样：硬件怎么做运算、存储要多大、传输快不快、解码难不难，这些都得一起考虑。

第 2 部分 · 数值编码：从进位制到补码与浮点数

• 二进制进位计数制。基数是 2，每位只有 0 或 1，逢二进一；位置有权值，从右向左第 \(i\) 位权重为 \(2^i\)。例如 \((1101.11)_2 = 1\times2^3+1\times2^2+0\times2^1+1\times2^0+1\times2^{-1}+1\times2^{-2} = (13.75)_{10}\)。
• 减法能不能复用加法电路。\(8-4\) 能不能写成 \(8+(-4)\)？可以像加法器一样再搭一套减法电路，但工程师更希望复用已有的加法硬件，于是问题就变成「负号怎么编进 0/1 里」。
• 朴素符号位编码（符号 - 真值法）。最高位表示符号（0 为正、1 为负），其余是数值位。看着很自然，可 8 位只能表示 \(-127\) 到 \(+127\)，而且有 +0 和 -0 两个零；更麻烦的是，+5 加 -5 按这套规则算出来不是 0，而是类似 -10 的结果，加法器直接把符号位也当数值加了。
• 补码规则（模运算）。模是一个计量系统的量程。定了模，总能找到一个正数来代替负数，这个正数就是负数的补数。拿钟表打比方：12 小时制有 12 个状态，模是 12；指针从 6 拨到 2，逆时针 4 下是减法，顺时针 8 下是加法，所以 \(-4\) 和 \(+8\) 在模 12 下等价，\(6-4\) 可以写成 \(6+8=14\)，去掉溢出的一圈 12，剩下 2。以 8 位为例，模是 256，\(-5\) 的补码是 11111011；\(5-5\) 变成 \(5+(256-5)=256\)，最高位的 1 被丢掉，结果是 0。
• 补码的编码与解码。正数的补码和原码（真值）一样；负数的符号位固定为 1，数值位按位取反再加 1。解码反过来：正数直接读数值位；负数整体按位取反加 1 得到原码，再按符号位读真值。补码是固定位宽模空间下的工程编码，让计算机只用加法电路就能做带符号整数的加减。课堂还现场算了建校周年：约定年份用 4 位、模 10000，\(-1911 \equiv 10000-1911=8089\)，于是 \(2026-1911\) 变成 \(2026+8089=10115\)，丢掉最高位得 0115，即 115 周年；由同学上台完成了这个推导。
• 浮点数编码。补码是定点整数，表示不了极大或极小的实数，比如宇宙年龄 138 亿年、普朗克时间 \(10^{-44}\) 秒。十进制科学计数法写作 \(N = m \times 10^e\)，二进制浮点数就是 \(N = (-1)^s \times m \times 2^e\)，小数点通过指数调整位置，所以叫「浮动」。以 32 位单精度浮点数（IEEE754）为例，32 位分成 1 位符号、8 位指数、23 位尾数三段，指数管范围、尾数管精度。定点加法器复用补码就能做加减，乘除可以看成连续加/减；但浮点数规则不同，没法直接复用定点电路，所以 CPU 要有专门的浮点运算单元，买 CPU 时看到的「浮点运算性能 / FLOPS」就是指这项能力。

第 3 部分 · 编码与解码：一对配套动作

• 编码是把信息翻译成机器能处理的符号；解码是把机器里的符号还原成人能看懂的信息。
• 加法器实验、补码运算、浮点数、ASCII 字符、SVG 矢量图形，走的都是「编码 → 硬件处理 → 解码」这一套。
• 规则由人定，编码和解码要用同一套规则，否则就是乱码或者解析出错。

第 4 部分 · 文本编码：ASCII、GB2312/GB18030 与 Unicode/UTF-8

编码就是建立一套唯一、无歧义的映射：先确定字符集，再在编码空间里给每个字符一个编号，最后把编号转成二进制。

• ASCII（1963 年）。收了 128 个符号，人为排成 16 行 × 8 列，16 行对应 4 位二进制、8 列对应 3 位二进制，合起来 7 位正好定位 128 个符号，这个位置编号就是字符的二进制串。存储时占 1 字节，最高位补 0；如果当年字符集更大，字节也可能被约定成 16 位，标准是根据工程需要塑造的。
• GB2312（1980 年）。国标汉字编码。汉字 6763 个，一级 3755 个按拼音排，二级 3008 个按部首排；另有 682 个非汉字，包括拉丁字母、日文假名、俄文字母和标点。定位用 94 区 × 94 位的区位码，像切豆腐块一样给每个汉字一个坐标，比如「中」在 54 区 48 位，区位码就是 5448。
• GB18030（2000 年）。GB2312 的扩展（中间还有一步 GBK，1995 年）。GB2312 只收了 6763 个汉字，生僻字、繁体字和少数民族文字都放不下；名字里有生僻字时，早年教务系统只能显示星号，朱镕基的「镕」字不在字库里，报纸排版时只好把这个字做成图片嵌进去。GB18030 在它们的基础上继续扩充，能表示全部 Unicode 码位，并向下兼容 GB2312 和 GBK，编码长度有 1、2、4 字节三种。这个标准还在更新：2005 年出过一版，现行的是 GB18030-2022（2023 年 8 月 1 日起实施），继续补充字符、修正映射。
• Unicode 和 UTF。Unicode 把世界上的文字、符号收进一本总表，每个字符给一个全球唯一编号，省得各国各搞一套编码表。如果总表直接按固定 4 字节存，英文 A 也会从 1 字节膨胀到 4 字节；UTF 是 Unicode 的存储实现，后缀数字是编码的基础单元大小。UTF-8 变长，按字符频率用 1~4 字节表示一个字符：英文兼容 ASCII，占 1 字节，常用中文占 3 字节，兼顾兼容性和效率。同一套 Unicode 字符集，也能改用 UTF-16 等编码。

第 5 部分 · 矢量图形编码：SVG 的图元与参数

• 图形的基础形状有限（圆、矩形……），但位置、大小、颜色能组合出无穷多种。
• 编码方式是图元加参数：图元说明是什么形状，参数说明位置、大小、颜色。几何规则配上具体参数，才能确定图形长什么样。
• SVG 由两部分组成：矢量逻辑编码（业务语义）和 UTF-8 编码（文件存储）。它是文本，所以记事本能打开；渲染器读绘制说明，算坐标，画图。
• 改矢量图形不用动像素，只加几何运算规则和变换参数，改的是绘图描述文本。clip-path 做相交，mask 做相减，<g transform="rotate(...)"> 做旋转。
• 渲染器读全部几何规则，实时算坐标重画。放大缩小只是换个比例重画，图形不会失真。课堂上现场演示了 circle.svg：双击默认被浏览器打开，因为浏览器内置渲染器；想用记事本看源码，要在「文件 → 打开」里把文件类型改成「所有文件」才能选中它。把 SVG 插入 PPT，PPT 的渲染器会按描述画图；改一下 fill 再重新插入，颜色就变了。这直观说明：矢量图形文件存的是绘图描述，不是像素。

第 6 部分 · 小结：编码是工程权衡

逻辑型数字化的核心动作就是编码：把人类抽象符号映射成 0/1 比特串交给硬件，解码再把 0/1 还原成符号语义。编码没有万能方案，要同时适配硬件运算特性、表达范围、存储开销、传输效率和解码复杂度。这也是不同信息要用不同编码的原因：

• 数值用补码。为了复用加法硬件。
• 数值用浮点数。为了表达极大、极小的数值，需要专门设计运算电路。
• 文本用 Unicode/UTF-8。为了统一表示多国文字，同时兼顾存储大小和兼容性。
• 图形用 SVG。用图元（几何规则）加参数（尺寸、位置等）描述几何概念，缩放不失真。

核心概念

✅ 课堂思考与判断

下面几道题可以自测，点开看答案。